刘润对谈吴军：每个人都一定要有数学思维

刘润
2026-02-02 08:30
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观点/ 刘润 主笔/由之责编 / 黄静

本文首发于2019年11月


今天，我们重发一篇过往比较受欢迎的文章《刘润对谈吴军：每个人都一定要有数学思维》，希望对你有所启发。

以下是这篇次条重发文章正文。


吴军老师是我特别敬佩的老师。
他是计算机科学家，是自然语言处理技术的先驱者，是谷歌公司的智能搜索科学家，腾讯公司的前副总裁，同时也是硅谷著名的风险投资人、畅销书作家。
他著有《数学之美》《浪潮之巅》《硅谷之谜》《智能时代》《文明之光》《大学之路》《全球科技通史》《见识》《态度》等，本本都是超级畅销书。从我到我儿子小米，我们全家都是他的书迷。
同时，他还是教育专家，古典音乐迷，酷爱逛博物馆，见过90%以上世界名画的真迹，他是优秀的红酒鉴赏家，他精通历史、艺术、哲学、摄影、投资、商业……把他在任何一个领域成就单拿出来，都让普通人望尘莫及。
最近，吴军老师在得到app新上了一门课程，叫做：《数学通识50讲》。
吴军老师在得到已经开设了6门课程，分别是《硅谷来信》《谷歌方法论》《信息论40讲》《科技史纲60讲》《吴军讲5G》，以及刚上的《数学通识50讲》。
从信息论，到科技史，到通信技术5G，现在又讲数学，吴军老师的涉猎之广，研究之深，让人深深叹服。
我特别喜欢跟吴军老师聊天，因为每一次，都让我收获巨大。
今天，我迫不及待地想把我们的聊天内容，分享给你。

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信息论、科技史、谷歌方法论、5G、数学……我一直特别好奇，吴军老师的大脑是怎么能装下这么多东西，又理解得如此深刻的？
吴军老师说，他所讲的这些内容，其实就是他一直以来工作的沉淀。
吴军老师，是美国约翰霍普金斯大学的计算机博士，后来在谷歌担任智能搜索科学家。
他所研究的内容是语音识别和自然语言处理，这需要有非常深厚的信息论、信息技术、通信技术、以及数学功底。
而他的课程内容，就来自于这些积累。
差别在于，做成课程需要用更通俗的方式，把那些晦涩的专业知识讲出来，让每一个人都能够听得懂。
这一次的新课，吴军老师选择了数学。
为什么要选择讲数学呢？
数学这个主题，是很多老师（比如我，虽然我大学的专业就是数学…）想讲，但是不敢讲的。
为什么？
因为，它太难了。
而且，数学这两个字，简直是很多人的噩梦。
甚至，有小朋友在报考大学专业的时候说，只要不学数学，让我干什么都可以！
确实，数学很难。
很多人学了十几年数学，走上工作岗位，根本不知道数学到底有什么用。
除了相关专业的工程师，现在有几个人，还记得大学学过的微积分、概率、和线性代数？
那么学数学到底有什么用？
作为一个普通人，也要学数学吗？
吴军老师说，是的，每一个人，都一定要学数学，因为它实在太有用了。
学数学，对大部分人来说，不是为了解数学题，不是为了当数学家，而是为了培养数学思维。
数学思维，不仅能让你登上更高的高度，开拓你的眼界，也能够帮你建立一些正确的常识，让你少走弯路，并且让你在人生的每一个岔路口，有更多更多的选择。
今天我能够给企业做战略咨询，能够快速洞察一件事物的本质，其实，最最根本的能力，就来自于数学思维。
可是，数学也太难了，我学不会怎么办？
解数学题也许很难，数学考试拿满分也许很难，但是，只要你愿意，培养自己的数学思维其实并不难。
哦？那具体来说，数学思维包括哪些呢？
我给你介绍5种。
这5种数学思维，让吴军老师，包括我自己都特别受益。
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第一种数学思维，源自于概率论，叫做从不确定性中找到确定性。
什么意思？
假如一件事情成功的概率是20%，是不是就意味着，我重复做这件事5次，就一定能成功呢？
很多人会这样想，但事实并不是这样。
如果我们把95%的概率定义为成功，那么这件20%成功概率的事，你需要重复做14次。
换句话说，你只要把这件20%成功概率的事，重复做14次，你就有95%的概率能做成。
计算过程我放在这里，对公式头疼的小朋友可以直接略过。
做一次失败的概率为：1-20%=80%=0.8
重复做n次至少有一次成功的概率是95%，就相当于重复做n次每一次都不成功的概率是5%，
重复做n次都不成功：80%^n=1-95%=5%=0.05
n=log(0.8,0.05)=13.42
所以重复做13.42次，你成功的概率能达到95%。
如果你要达到99%的成功概率，那么你需要重复做21次。
那想达到100%的成功概率呢？
对不起，这个世界上没有100%的概率，所有人想要做成事，都需要一点点运气。
我们经常说，正确的事情，要重复做。
它其实就是概率论的自然语言表述。
所谓正确的事情，其实指的就是大概率能成功的事情。
而所谓的重复，学会了概率论，我们就对重复这件事有了定量的理解。
20%的成功概率，在商业世界中，已经不算小了，只要重复做14次，你的成功概率就能达到95%。
理解了这件事情，你就会知道，创业一次成功的概率太小，所以你在融资的时候，就不能只融资一次的预算，你需要更多更多次的预算。
相对应地，很多人都想过，假如我在一个领域成功的概率是1%，那么我找到20个领域来做，是不是跟一个领域20%的效果是一样的？
如果我们依然把95%定为成功的标准，那么1%成功概率的事情，你需要重复做298次。
而这，还只是一个领域。
这就像很多人会问，我是成为一个全才，把20个领域都试个遍，更容易成功？
还是成为一个专才，在一个领域深耕，更容易成功呢？
概率论会告诉你，成为一个专才，成功的可能性更大。
理解了这件事情，你就会明白，创业要专注，不要做太多事，做太多事，你本来20%的概率就只剩1%了，你成功的概率就会更小。
你看，虽然这个世界上没有100%的概率，但是只要重复做大概率成功的事情，你成功的概率就能够接近100%。
这就叫从不确定性中找到确定性。
这是概率论教会我们最重要的思维。
我们学习概率论，不是为了去算题，而是要理解这种思考方法，在做人生选择的时候，就能选对那条大概率成功的道路。
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第二种数学思维，源自于微积分，叫做用动态的眼光看问题。
很多人一听说微积分，想到那些复杂的微分方程、积分方程，就头疼。
别怕。
我们今天不谈方程，只谈微积分的思维方式。
微积分的思维方式其实特别简单，也正因为简单到极致，所以非常漂亮。
微积分是牛顿发明的。他为什么要发明微积分呢？
是为了虐死后世的我们吗？
当然不是。
其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。
比如，我知道一段距离的长短，和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。
但是，每个瞬间的速度，我是不了解的。
于是，牛顿就发明了微分，用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。
而积分跟微分正好相反，它反应的是瞬间变量的积累效应。
那么，到底什么是微积分？
我举个简单的例子。
一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。
但有了加速度，并不会瞬间产生速度。
加速度累积一段时间，才会有速度。
而有了速度，并不会瞬间产生位移。
速度累积一段时间，才会有位移。
宏观上，我们看到的是位移，但是从最微观的角度来看，其实是从加速度开始的。
加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。
这，就是积分。
反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度在一段时间的累积。
而物体之所以会有速度，是因为加速度在一段时间的累积。
位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。
而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。
宏观上，我们看到的是位移，但是从微观上来看，其实是每一个瞬间速度的累积。
而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。
这，就是微分。
那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？
理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。
什么意思？
加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。
其实人也是一样。
你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。
你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。
而你有了能力，并不会马上做出成绩。
你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。
而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。
你的成绩，得累积一段时间，才会得到领导赏识。
从努力，到能力，到成绩，到赏识，它是有一个过程的，有一个积分的效应。
但是你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天，就会抱怨说，我今天这么努力，领导为什么不赏识我？
他忘了，这其实还需要一个积分的效应。
反过来说，有些人可能一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢懈怠了。
他的努力程度下降了，但这个时候，他的能力并不会马上跟着下降。
可能过了三四个月，才会慢慢显示出来。他会发现做事情开始不能得心应手了。
然后又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。
在这一瞬间，很多人会觉得，有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗。
但他忘了，这其实是一个积分效应，这样的结果，其实早在七八个月前他不努力的时候，就埋下了种子。
努力的时候，都希望大家瞬间认可；而出了问题，却不去想几个月之前的懈怠。
这是很多人都容易走进的思维误区。
而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可，你就会拥有一个平衡的心态，就会避免犯这样的错误。
吴军老师经常讲一句话，叫做莫欺少年穷。
其实，从本质上来说，这也是微积分的思维方式。
少年虽穷，虽然他目前积累的还很少，但是，只要他的增速（用数学的语言来说，叫导速度）够快，经过五年十年，他的积累会非常高。
吴军老师给年轻人提建议说，不要在乎你的第一份薪水。
这其实也是微积分的思维方式。
一开始拿多少钱不重要，重要的是增速（导数）。
微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。
一件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应。

出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观，一直追溯（求导）到微观，才能找到最根源的问题所在。

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第三种数学思维，源自于几何学，叫做公理体系。
什么是公理体系？
比如，几何学有一门分科，叫做欧几里得几何，也被称为欧氏几何。
欧氏几何有5条最基本的公理：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径画一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
公理，是具有自明性并且被公认的命题。
在欧氏几何中，其他所有的定理（或者说命题），都是以这5条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。
从这5条公理出发，可以推导出无数条定理。
比如：
每一条线的角度都是180度。
三角形的内角和等于180度。
过直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
……
这构成了欧氏几何庞大的公理体系。
如果说公理体系是一颗大树，那么公理就是大树的树根。
而在几何学的另一门分科，罗巴切夫斯基几何中，它的公理体系又不一样了。
从罗巴切夫斯基几何的公理出发，可以推导出这样的定理：
三角形的内角和小于180度。
过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行。
这跟欧氏几何是完全不同的。
（罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识，但它其实解决的主要是曲面上的几何问题，跟欧氏几何并不冲突。）
因为公理不同，所以能推导出来的定理就不同，因此罗巴切夫斯基几何的公理体系，跟欧氏几何的公理体系，也完全不同。
在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。
这就是公理体系的思维。
这种思维在我们的生活中非常重要。
比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者你也可以把它们称为公司基因或者文化。
因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策，差异就会很大。
一家公司的愿景、使命、价值观，其实就相当于这家公司的公理。
公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。
所有的规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命、价值观这些公理上，生长出来的定理。
它们构成了这家公司的公理体系。
而这个体系，一定是完全自洽的。
什么叫完全自洽？
就是一家公司一旦有了完备的公理，其实就不需要老板来做决定了。
因为公理能推导出所有的定理。
不管公司以后会怎么发展，会遇到什么情况，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新的法则（定理）。
而当你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者你的规章制度、工作流程、决策行为和你的愿景、使命、价值观不符。
通常是因为公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。
这个时候你就需要修修补补，将你公司的公理体系一步步搭建起来。
我曾跟小伙伴说：
我在公司只做三件事：设置责权利，捍卫价值观，和做一只安静的内容奶牛。
关于责权利法则，我们只有一条公理：创造最大价值的人，获得最大的收益。
所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理，推演出的定理。
任何制度安排（定理），如果违背了唯一的公理，那一定是我的智商不够用导致的。
我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。
如果我拒不改正，或者对公理有动摇，请毅然决然地离开我。那个我，不值得你们跟随。
我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。
公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。
制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。
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第四种数学思维，源自于代数，叫做数字的方向性。
我们学代数，最开始学的是自然数，包括0和正整数：0，1，2，3，4，5……
然后是整数，包括自然数和负整数：……-3，-2，-1，0，1，2，3……
然后是有理数，包括整数和分数。
在学习分数之前，数字在我们的认知中，是离散的，是一个一个的点。
而有了分数，数字就开始变得连续了。
这就像在生活中，一开始你看事情，看的是对和错，大和小。
而慢慢地，你认识到世界其实并没有这么简单，你看事情开始有了灰度。
有理数之后，我们又学了无理数。
无理数，就是无限不循环小数，比如π。
任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。
但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。
这会让你认识到，在这个世界上，有些事情就是复杂到无法有规律的。
π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，你不要试图用一个简单粗暴的方式来定义它。
你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。
你看，我们不断深入学习各种数，其实就是在一步一步地理解世界的复杂。
再往复杂里说，数这个东西，除了大小，其实还有一个非常重要的属性：方向。
在数学上，我们把有方向的数字叫做向量。
数字，其实是有方向的。这个认识对我们的生活有什么用呢？
我举个例子。
假如你今天拖着一个箱子往东走，你力气很大，有30N。
这时来了一个人，非要跟你对着干，把箱子往西拖，他力气没你大，只有20N。
结果如何呢？
这个箱子还是会跟着你往东走，只不过只剩下10N的力，它的速度会慢下来。
这就像在公司里做事，两个人都很有能力，如果他们合作的时候，能力都能往一个方向使，形成合力，这是最好的结果。
而如果，他们的能力不能往一个方向使，反而互相牵制，那可能还不如完全交给其中一个人来做。
还有一种情况，做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪个方向是正确的。
这时，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相对正确性。
那你该怎么办呢？
你就让他们都去干这件事吧。
虽然大家的方向不同，会互相牵制，力的大小会有损耗。
但是最终事情的走向，会是那个相对正确的方向。
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第五种数学思维，源自于博弈论，叫做全局最优和达成共赢。
什么是博弈论？
我们每天都要做很多很多大大小小的决策。
比如，我今天是喝咖啡，还是喝茶？
这就是一个决策。
但这个决策只跟我自己有关，并不会涉及到别人。
而在生活中，有一类决策，是需要涉及到别人的。
涉及到别人的决策逻辑，我们把它叫做博弈论。
比如，下围棋就是典型的博弈。
每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。
这是博弈论中典型的零和博弈。
在零和博弈中，你要一直明白，你要的是全局的最优解，而不是局部最优解。
什么意思？
下围棋的时候，不是在每一步上，你都要吃掉对方最多的子。
你要让终局所得最多，就要步步为营，讲究策略。
有时候让子是为了以退为进，始终记得，你是为了全局最优，而不是局部最优。
很多时候办公司也是一样，不要总想着每一件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，可能在一些关键步数上就要做些妥协。
除了零和博弈，还有一种博弈，叫做非零和博弈。
非零和博弈讲究共赢。
共赢的前提，是建立信任。
但建立信任，其实特别不容易。
假如市场上现在需要100万台冰箱。
一个厂家发现了这个需求，决定马上生产100万台。
另一个厂家发现了这个需求，也决定马上生产100万台。
第三个厂家也同样，决定马上生产100万台。
……
结果，每一个厂家都生产了100万台，供大于求，大部分厂家都会遭受很大的损失。
那如果这时候，大家能够建立起信任，说好10个厂家，每个人都只生产10万台，这样正好能够满足需求，每个厂家都能够赚到钱，大家就能达成共赢。
但是，只要有一个厂家没有遵守约定，别人都生产10万台，但是他生产30万台，这个时候，就多出来了20万台，大家就会因此遭受损失。
建立信任，特别不容易，但是这件事情在商业世界里非常重要。
那怎么才能建立信任呢？
我给你两个建议。
第一个建议是，你要找到那些能够建立信任的伙伴。
有些人，是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你就要远离。
第二个建议是，你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人，这样想要与你达成共赢的人，就会来找到你。

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最后的话

今天，我给你介绍了5种数学思维：从不确定性中找到确定性，用动态的眼光看问题，公理体系，数字的方向性，以及全局最优和达成共赢。

这篇文章很长，但是我希望你一定要把它看完。
不但要看完，还要看很多遍，真正把它看懂，把这些数学思维用在你的生活中。
我也希望能通过这篇文章，向你传达一个观念：数学不难，真的不难。
你不一定要会解大部分数学题，你不一定要背下来所有公式，你不一定要数学考试拿满分，但是你至少要训练自己的数学思维。
训练数学思维，是为了让自己拥有符合规律的思维方式。
孔子说：三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲不逾矩。
所谓的从心所欲不逾矩，不是说我要约束自己，让自己想做的事情不越出边界。
而是我因为拥有符合规律的思维方式，所以我做的事情根本就不会越出边界。
这，就是从心所欲的自由。

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